求冥函数的收敛半径E[(-1)^(n-1) * x^(2n) / 2n]

通项为[(-1)^(n-1) * x^(2n) / 2n]的幂级数的收敛半径可以用比值法求解。
就是使后项比前项的绝对值的极限小于等于1时的x的取值范围的半径。

幂级数的第(n+1)项比第n项 =
[(-1)^(n) * x^(2n+2) / 2(n+1)]/[(-1)^(n-1) * x^(2n) / 2n]

= -nx^2/(n+1),

取绝对值，为
nx^2/(n+1)

令n->正无穷大，取极限，为
x^2,

令极限 <= 1,得
x^2 <= 1,
|x| <= 1.

所以，收敛半径是1。

另外，

如果通项为[a(n)x^n]的幂级数的收敛半径是R(0<=R<正无穷),
则，说明 |x| < R时， 通项为[a(n)x^n]的幂级数绝对收敛。

所以，当 |x^2| < R时，通项为[a(n)（x^2)^n]的幂级数绝对收敛,
通项为[a(n)x^(2n)]的幂级数绝对收敛。

因此，当 |x| < R^(1/2)时，通项为[a(n)x^(2n)]的幂级数绝对收敛。
说明，
通项为[a(n)x^(2n)]的幂级数的收敛半径为 R^(1/2)。

E是sigma求和符号吗？

根据柯西判别法，收敛半径是1呀，也就是-1<x<1时收敛，x>1或x<-1时发散，进一步可以判断出x=1或-1时也是收敛的（交错级数）

E[an(n为下角标) * X^n]的收敛半径是R(0<=R<正无穷),则冥级数E[an(n为下角标) * X^2n]的收敛半径也R（柯西判别法），唯一不同的是边界处的收敛情况可能不一样

设那个幂级数和等于S(x)将S(x)逐项对x求导，得到一个无穷等比级数的和，首项-1/x公比q=-x^2,原级数收敛那么新级数也收敛，则0<|q|<1